Normalidade multivariada (Mardia)

O que o bloco faz

O bloco multi/mardia calcula a assimetria b₁,ₚ e a curtose b₂,ₚ multivariadas de Mardia (1970), com o teste qui-quadrado da assimetria (também com a correção de amostra pequena de Mardia, 1974) e o teste normal da curtose. O bloco recebe data/table e devolve uma tabela.

Antes de continuar

Termos que esta página usa, em poucas palavras. As definições completas estão no glossário.

População

O conjunto completo de unidades sobre o qual se quer concluir algo: todas as propriedades de uma região, todos os alunos de uma escola. Em geral não é possível medir todas, e por isso se mede uma amostra.

Amostra

A parte da população que é de fato observada. Quando é sorteada com probabilidades conhecidas, permite estimar características da população e medir a incerteza dessa estimativa.

Intervalo de confiança

Uma faixa de valores calculada a partir da amostra. Com 95% de confiança, o procedimento produz intervalos que contêm o valor verdadeiro em 95% das amostras possíveis; não quer dizer que um intervalo específico tenha 95% de probabilidade de acertar.

Poder do teste

A probabilidade de o teste detectar um efeito que de fato existe (um menos a probabilidade de erro tipo II). Cresce com o tamanho da amostra e com o tamanho do efeito, e diminui quando a variabilidade é grande.

Normalidade

Pressuposto de que os erros do modelo seguem a distribuição normal (em forma de sino). Em modelos lineares ele se confere nos resíduos, não nos dados brutos; desvios leves pesam pouco em amostras grandes.

Quando usar

Use Normalidade multivariada (Mardia) antes da discriminante, do M de Box, da fatorial por máxima verossimilhança e da esfericidade de Bartlett, que supõem normalidade multivariada. Testar cada variável sozinha não basta.

Pressupostos

• As observações são independentes (um indivíduo por linha, sem medidas repetidas).

• As estatísticas têm distribuição assintótica (χ² na assimetria, normal na curtose): com n pequeno a curtose é conservadora e a assimetria liberal — leia a linha de amostra pequena (Mardia 1974) quando n < 20.

  Se falhar: Com poucos casos, olhe também os gráficos de cada variável (view/qq) e não trate o não rejeitar como prova de normalidade.

• Os dados são de uma população: grupos com médias diferentes misturados na mesma tabela formam uma mistura que não é normal.

  Se falhar: Informe o grupo para testar dentro de cada um, que é o que a discriminante e o M de Box supõem.

• A covariância de cada grupo é inversível: n ≥ p + 2 e nenhuma variável é combinação exata das outras (o bloco recusa senão).

  Verificar:Matriz de correlação

Configuração

• Variáveis — colunas numéricas; em branco, todas as numéricas menos o grupo.
• Grupo (opcional) — testa dentro de cada grupo, como a discriminante supõe.
• Confiança — a leitura rejeita quando p < 1 − confiança (padrão 0,95).

Exemplo

library(trama)

reg <- tr_registry()
tr_use("trama.multi", registry = reg)

tr_flow(reg) |>
  tr_add("i", "multi/example", dataset = "iris") |>
  tr_add("m", "multi/mardia", grupo = "Species", from = "i")

No iris, com as quatro medidas e 50 flores por espécie, nenhum grupo rejeita a 5%: em setosa a assimetria é b₁,ₚ = 3,080 (χ² = 25,66 com 20 gl, p = 0,177; corrigida, p = 0,113) e a curtose b₂,ₚ = 26,54 (z = 1,29, p = 0,195). Em virginica a assimetria corrigida chega mais perto (p = 0,098).

Os p são assintóticos (qui-quadrado e normal com n grande) e pouco confiáveis em n pequeno. Com menos de 20 linhas na tabela ou num grupo o bloco avisa e aponta a linha de amostra pequena; 20 é a regra do pacote MVN para trocar para essa correção (código de MVN::mardia), não um limiar estabelecido na literatura.

Como interpretar

Na normal multivariada, b₁,ₚ = 0 e b₂,ₚ = p(p + 2) (24 com quatro variáveis). Rejeitar qualquer das duas é evidência contra a normalidade. Não rejeitar não prova normalidade: com poucas linhas o teste tem pouco poder; com muitas, rejeita desvios pequenos.