Regressão polinomial

O que o bloco faz

models/polinomial recebe o modelo de uma ANOVA (models/anova_dic, models/anova_dbc ou models/anova_dql) em que o tratamento é uma dose, desdobra a soma de quadrados de tratamentos em componentes linear, quadrático, cúbico… (1 gl cada, testados com o QM do resíduo da ANOVA) e ajusta a curva do grau escolhido. Tem duas saídas: modelo (models/fit, a curva, que vai para models/coefficients, models/predict e models/plot_regression) e quadro (models/effects, o desdobramento, com a equação, o R² e a dose de máxima eficiência técnica no rodapé).

Desde a versão 2 ele reúne o antigo models/dose_response; fluxos gravados com esse id abrem aqui.

Antes de continuar

Termos que esta página usa, em poucas palavras. As definições completas estão no glossário.

Resíduo

A diferença entre o valor observado e o valor que o modelo ajustado prevê para aquela observação. É nos resíduos que se conferem os pressupostos do modelo: eles devem parecer ruído, sem padrão.

Coeficiente de determinação (R²)

A fração da variação da resposta que o modelo explica, entre 0 e 1. Nunca diminui quando se acrescentam variáveis, por isso não serve sozinho para escolher entre modelos.

Fator

Uma variável explicativa categórica cujo efeito se quer estudar, como adubo, cultivar ou dose. Num experimento fatorial, dois ou mais fatores são combinados.

Nível

Cada valor que um fator assume no estudo: as doses 0, 50 e 100 kg/ha são três níveis do fator dose.

Tratamento

A condição aplicada a uma unidade experimental: um nível de um fator ou uma combinação de níveis de vários fatores. As comparações do experimento são entre tratamentos.

Quando usar

Quando o tratamento é quantitativo — doses de adubo, lâminas de irrigação, densidades, épocas — e a pergunta é como a resposta muda com a dose, e não só se as doses diferem. Com níveis igualmente espaçados e repetições iguais, a decomposição é a dos polinômios ortogonais dos livros; com espaçamento desigual entram as doses reais, e com repetições desiguais ou parcela perdida a partição é sequencial (cada grau depois do bloco e dos graus menores).

Pressupostos

• O modelo que entra atende aos seus pressupostos (erros normais, variância constante, independência): as comparações usam o erro padrão dele.

  Verificar:Normalidade dos resíduosLeveneDiagnóstico dos resíduos

  Se falhar: Acerte o modelo antes: transformação, models/glm, ou models/lmer para erros correlacionados.

• Os níveis do tratamento são quantitativos e a resposta pode variar de forma contínua entre eles (dose, época, espaçamento).

• O modelo é um DIC, DBC ou DQL de um fator. Com repetições desiguais ou parcela perdida a partição é sequencial (cada grau depois do bloco e dos graus menores), e a curva é ajustada às médias da tabela.

• O polinômio só vale dentro da faixa testada; fora dela a equação extrapola.

  Se falhar: Não use a equação para prever doses fora dos níveis do experimento.

• A falta de ajuste não é significativa para o grau escolhido.

  Se falhar: Aumente o grau, ou considere um modelo não linear (platô, exponencial).

• A MET (−b₁ / 2b₂) só é dose ótima se cair dentro da faixa testada e a parábola for o grau adequado.

  Se falhar: A nota avisa quando a MET cai fora das doses; não a reporte como ótimo.

Configuração

Tratamento é o fator de doses (níveis numéricos; vírgula decimal serve). Grau da curva automático escolhe o maior componente significativo a 1 − Confiança; se nenhum é, a curva é a média geral (grau 0) e a nota diz isso. De 1 a 5 fixam o grau. Maior grau testado (padrão 3) é quantos componentes o quadro testa; desce sozinho até k − 1 com poucas doses. O quadro traz os desvios da regressão e a falta de ajuste do grau escolhido.

Exemplo

library(trama)

reg <- tr_registry()
tr_use("trama.models", registry = reg)

tr_flow(reg) |>
  tr_add("dados", "models/example", dataset = "adubo_dbc") |>
  tr_add("ajuste", "models/anova_dbc", resposta = "producao", tratamento = "dose", bloco = "bloco", from = "dados") |>
  tr_add("resultado", "models/polinomial", tratamento = "dose", from = "ajuste")

adubo_dbc simula cinco doses de nitrogênio (0 a 200 kg/ha) em quatro blocos. O linear (F = 228,2) e o quadrático (F = 104,1) são significativos, o cúbico e os desvios não (p = 0,66 e 0,71), e o grau automático é 2: ŷ = 3,051 + 0,0363x − 0,0001262x², R² = 0,9989, falta de ajuste do grau 2 com p = 0,84 e dose de máxima produção 143,8 kg/ha.

Como interpretar

Componente significativo quer dizer que aquela forma explica parte da diferença entre as doses. A falta de ajuste significativa avisa que a curva escolhida deixa diferença sem explicar. O R² é SQ da regressão / SQ de tratamentos: com três doses e grau 2 a curva passa por todas as médias e o R² é 1 por construção. A equação vale só dentro da faixa testada; a dose de máxima eficiência técnica, −b₁ / (2 b₂), quando cai fora das doses, é extrapolação e a nota avisa. A validação reproduz as SQ do exemplo do algodão de Montgomery (33,62, 343,21, 64,98 e 33,95), os contrastes contr.poly com as doses reais como scores e a ANOVA sequencial de lm(y ~ bloco + x + x² + x³ + dose) no DBC desbalanceado. A validação usa os dados do algodão de Montgomery (Design and Analysis of Experiments, 5.ª ed., tabela 3.1): as SQ 33,62, 343,21, 64,98 e 33,95 são calculadas desses dados e conferidas à mão pelos contrastes ortogonais (não copiadas de página impressa); e a decomposição sequencial do lm com poly().